APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

Aplicaciones de las derivadas Crecimiento y decrecimiento.

Definiciones.-
Una función f(x) es creciente en un punto x = a si tomando un entorno de este punto (a-h,a+h) se verifica que: f(a-h) < x =" a"> f(a) > f(a+h) ; es decir, al aumentar el valor de la variable independiente disminuye el valor de la función
En las gráficas podemos observar que una función es creciente cuando a un incremento positivo de la variable independiente le corresponde un incremento positivo de la función, y será decreciente cuando a un incremento positivo de la variable independiente le corresponde un incremento negativo de la función.
Cálculo:
Para establecer las condiciones matemáticas de crecimiento y decrecimiento tendremos en cuenta el significado geométrico de la derivada primera (pendiente de la recta tangente a la curva en el punto considerado).
Según esto una función es creciente en un punto cuando la derivada primera particularizada para ese punto es positiva ya que la recta tangente a la curva trazada por ese punto tendrá pendiente positiva.
f(x) creciente en x = a ⇔ f’(a) > 0
Según esto una función es decreciente en un punto cuando la derivada primera particularizada para ese punto es negativa ya que la recta tangente a la curva trazada por ese punto tendrá pendiente negativa.
f(x) decreciente en x = a ⇔ f’(a) < 0 Una función es creciente o decreciente en un intervalo cuando lo es en todos y cada uno de los puntos que forman dicho intervalo.

Puntos críticos Se denomina punto crítico a todo aquel en el que se anula la derivada primera, es decir, los máximos, mínimos y los puntos de inflexión con tangente horizontal, por tanto serán los ceros de la derivada primera. Según esto la pendiente de la tangente en estos puntos es horizontal. Puntos de tangencia vertical Se denominan puntos de tangencia vertical a aquellos que hacen infinita la derivada primera, es decir los polos de la derivada primera. Se denominan de esta forma debido a que la recta vertical trazada por el punto es tangente a la curva en el infinito.

Extremos relativos: máximos y mínimos Máximo relativo. Definición: una función y=f(x) tiene un máximo relativo en un punto x=a cuando antes del punto es creciente y después de él decreciente siendo el valor que toma en ese punto mayor que cualquier otro de su entorno. Cálculo: necesitamos recordar el significado de la derivada segunda que representa la variación de la primera. Esto significa que si la derivada primera aumenta la segunda será positiva y viceversa. De esta forma la derivada primera antes del máximo será positiva ya que la pendiente de la recta tangente a la curva lo es, y después del máximo será negativa. Las consecuencias de esto es serán dos: La derivada primera será cero en el máximo. La derivada segunda será negativa ya que la primera ha pasado de positiva a negativa, es decir ha experimentado una variación negativa.

Mínimo relativo Definición: una función y=f(x) tiene un mínimo relativo en x=a cuando antes del punto es decreciente y después creciente, siendo el valor que toma en el punto menor al de cualquier otro inmediatamente anterior o posterior. Cálculo: necesitamos recordar el significado de la derivada segunda que representa la variación de la primera. Esto significa que si la derivada primera aumenta la segunda será positiva y viceversa. De esta forma la derivada primera antes del mínimo será negativa ya que la pendiente de la recta tangente a la curva lo es, y después del mínimo será positiva. Las consecuencias de esto es serán dos: La derivada primera será cero en el mínimo. La derivada segunda será positiva ya que la primera ha pasado de negativa a positiva, es decir ha experimentado una variación positiva.

Concavidad y convexidad

Concavidad
Definición: una curva es cóncava en un punto x=a cuando al trazar la tangente a ese punto la curva queda por encima de la tangente.
Cálculo:teniendo en cuenta el significado de la derivada segunda se debe cumplir la condición fa>0

Convexidad
Definición: una curva es convexa en un punto x=a cuando al trazar la tangente a ese punto la curva queda por debajo de la tangente.
Cálculo: teniendo en cuenta el significado de la derivada segunda se debe cumplir la condición:
fa''<0 Una función es cóncava o convexa en un intervalo cuando lo es en cada uno de los puntos de dicho intervalo.

Puntos de inflexión
Definición: puntos de inflexión de una curva son aquellos puntos en los que la curva cambia de curvatura pasando de cóncava a convexa o viceversa. Cálculo: debemos introducir el concepto del significado de la derivada tercera que representa la variación que experimenta la segunda, de esta forma si f’’ aumenta la f’’’ será positiva y viceversa. Según esto se presentan varios tipos de puntos de inflexión que se recogen en la tabla de la página siguiente.

Estudio local
Definición: Es el estudio conjunto de crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión que pueda tener una función. Los pasos a seguir son los siguientes:
1. Se calculan las tres primeras derivadas de la función.
2. Se hallan ceros y polos de las dos primeras derivadas, es decir los valores que las anulan o hacen infinito.
3. Se forman los intervalos crecientes cuyos extremos sean los valores obtenidos en el punto anterior.
4. Se calcula el signo de las dos primeras derivadas tanto en los intervalos como en los extremos.
5. Con el signo de las derivadas, aplicamos las condiciones de crecimiento, decrecimiento, concavidad, convexidad, máximos, mínimos y puntos de inflexión. No es necesario en este caso la derivada tercera ya que no existen ceros en la segunda por lo que ningún valor de x la anulará y por tanto no existirán puntos de inflexión.


Representación gráfica de funciones
A la hora de representar una curva resulta imposible calcular los valores que toma la variable dependiente para los infinitos valores de la variable independiente. Ante este problema lo que se hace es calcular los más representativos y estudiar las características más importantes de la curva.
Los apartados que deberemos estudiar antes de representar la curva son:
•Ceros.
•Ordenada en el origen.
•Polos.
•Dominio.
•Regiones.
•Simetrías.
•Asíntotas, corte con las asíntotas.
•Estudio local.
•Representación.

Ceros
Son los valores de la variable independiente que hacen cero la función.
Se calculan igualando a cero la ecuación que representa a la función y representan los puntos de corte con el eje de abcisas (OX). Tienen la forma P(x,0).
Ordenada en el origen
Son los puntos en los que la curva corta al eje de ordenadas (YO).
Se calculan asignando el valor cero a la variable independiente. Tienen la forma P(0,y).

Polos
Son los valores de la variable independiente que hace infinita la función.
En el caso de los cocientes se calcularán igualando a cero el denominador.

Dominio
Conjunto de valores de la variable independiente para los que la función toma valores reales.

Regiones
Se trata de hacer un estudio del signo de la función de manera que se determine las zonas positivas y negativas de la función.
Para ello seguimos los siguientes pasos:
1. Dividimos el campo de existencia de la función en intervalos crecientes tomando como extremos de los mismos los ceros y polos de la función.
2. Calculamos el signo que toma la función en cada uno de los intervalos, para ello tomamos un valor cualquiera del intervalo (excepto los extremos) y lo sustituimos en la función anotando el signo del resultado.
3. Representamos las zonas en los ejes coordenados eliminando aquellas en las que la función no exista.

Simetrías
Los tipos de simetría posibles son: 1.- Respecto al eje OX (horizontal): fxfx()()=±
2.- Respecto al eje OY (vertical): fxfx()()=−
3.- Respecto al origen: fxfx()( ) −−

Asíntotas
Se definen como las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito.
Geométricamente se representan por una recta que se acerca a la curva sin llegar a cortarla Existen tres tipos de asíntotas:

Asíntotas verticales
Tomando la función y = f(x) , si se cumple la condición decimos que la recta x = a es tangente a la curva en el infinito y por tanto la recta será asíntota de la curva. Limfx x→a=∞
Para calcular las asíntotas verticales se buscan los valores de la variable independiente que hagan infinita la función, es decir los polos de la función.

Asíntotas horizontales
Tomando la función y = f(x) si Limfx x→b

Crecimiento y decrecimiento
Definiciones.-
Una función f(x) es creciente en un punto x = a si tomando un entorno de este punto (a-h,a+h) se verifica que: f(a-h) < f(a) < f(a+h) ; siendo h un incremento de la variable independiente (x) que le sumamos o restamos al punto a; es decir, al aumentar el valor de la variable independiente aumenta el valor de la función.
Una función f(x) es decreciente en un punto x = a si tomando un entorno a este punto (a-h,a+h) se verifica que: f(a-h) > f(a) > f(a+h) ; es decir, al aumentar el valor de la variable independiente disminuye el valor de la función
En las gráficas podemos observar que una función es creciente cuando a un incremento positivo de la variable independiente le corresponde un incremento positivo de la función, y será decreciente cuando a un incremento positivo de la variable independiente le corresponde un incremento negativo de la función.
Cálculo:
Para establecer las condiciones matemáticas de crecimiento y decrecimiento tendremos en cuenta el significado geométrico de la derivada primera (pendiente de la recta tangente a la curva en el punto considerado).
Según esto una función es creciente en un punto cuando la derivada primera particularizada para ese punto es positiva ya que la recta tangente a la curva trazada por ese punto tendrá pendiente positiva.
f(x) creciente en x = a ⇔ f’(a) > 0
Según esto una función es decreciente en un punto cuando la derivada primera particularizada para ese punto es negativa ya que la recta tangente a la curva trazada por ese punto tendrá pendiente negativa.
f(x) decreciente en x = a ⇔ f’(a) < 0
Una función es creciente o decreciente en un intervalo cuando lo es en todos y cada uno de los puntos que forman dicho intervalo.

Puntos críticos
Se denomina punto crítico a todo aquel en el que se anula la derivada primera, es decir, los máximos, mínimos y los puntos de inflexión con tangente horizontal, por tanto serán los ceros de la derivada primera. Según esto la pendiente de la tangente en estos puntos es horizontal.
Puntos de tangencia vertical
Se denominan puntos de tangencia vertical a aquellos que hacen infinita la derivada primera, es decir los polos de la derivada primera.
Se denominan de esta forma debido a que la recta vertical trazada por el punto es tangente a la curva en el infinito.
Extremos relativos: máximos y mínimos
Máximo relativo.
Definición: una función y=f(x) tiene un máximo relativo en un punto x=a cuando antes del punto es creciente y después de él decreciente siendo el valor que toma en ese punto mayor que cualquier otro de su entorno. La gráfica ilustra la forma de un máximo relativo.
Cálculo: necesitamos recordar el significado de la derivada segunda que representa la variación de la primera. Esto significa que si la derivada primera aumenta la segunda será positiva y viceversa.
De esta forma la derivada primera antes del máximo será positiva ya que la pendiente de la recta tangente a la curva lo es, y después del máximo será negativa. Las consecuencias de esto es serán dos:
La derivada primera será cero en el máximo.
La derivada segunda será negativa ya que la primera ha pasado de positiva a negativa, es decir ha experimentado una variación negativa.


Mínimo relativo
Definición: una función y=f(x) tiene un mínimo relativo en x=a cuando antes del punto es decreciente y después creciente, siendo el valor que toma en el punto menor al de cualquier otro inmediatamente anterior o posterior.
Cálculo: necesitamos recordar el significado de la derivada segunda que representa la variación de la primera. Esto significa que si la derivada primera aumenta la segunda será positiva y viceversa.
De esta forma la derivada primera antes del mínimo será negativa ya que la pendiente de la recta tangente a la curva lo es, y después del mínimo será positiva. Las consecuencias de esto es serán dos:
La derivada primera será cero en el mínimo.
La derivada segunda será positiva ya que la primera ha pasado de negativa a positiva, es decir ha experimentado una variación positiva.

Concavidad y convexidad

Concavidad
Definición: una curva es cóncava en un punto x=a cuando al trazar la tangente a ese punto la curva queda por encima de la tangente.
Cálculo:teniendo en cuenta el significado de la derivada segunda se debe cumplir la condición
fa''()>0

Convexidad
Definición: una curva es convexa en un punto x=a cuando al trazar la tangente a ese punto la curva queda por debajo de la tangente.
Cálculo: teniendo en cuenta el significado de la derivada segunda se debe cumplir la condición:
fa''()<0
Una función es cóncava o convexa en un intervalo cuando lo es en cada uno de los puntos de dicho intervalo.

Puntos de inflexión
Definición: puntos de inflexión de una curva son aquellos puntos en los que la curva cambia de curvatura pasando de cóncava a convexa o viceversa.
Cálculo: debemos introducir el concepto del significado de la derivada tercera que representa la variación que experimenta la segunda, de esta forma si f’’ aumenta la f’’’ será positiva y viceversa. Según esto se presentan varios tipos de puntos de inflexión que se recogen en la tabla de la página siguiente.

Estudio local

Definición: Es el estudio conjunto de crecimiento, decrecimiento, máximos, mínimos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión que pueda tener una función.
Los pasos a seguir son los siguientes:
1. Se calculan las tres primeras derivadas de la función.
2. Se hallan ceros y polos de las dos primeras derivadas, es decir los valores que las anulan o hacen infinito.
3. Se forman los intervalos crecientes cuyos extremos sean los valores obtenidos en el punto anterior.
4. Se calcula el signo de las dos primeras derivadas tanto en los intervalos como en los extremos.
5. Con el signo de las derivadas, aplicamos las condiciones de crecimiento, decrecimiento, concavidad, convexidad, máximos, mínimos y puntos de inflexión.


Representación gráfica de funciones

A la hora de representar una curva resulta imposible calcular los valores que toma la variable dependiente para los infinitos valores de la variable independiente. Ante este problema lo que se hace es calcular los más representativos y estudiar las características más importantes de la curva.
Los apartados que deberemos estudiar antes de representar la curva son:
•Ceros.
•Ordenada en el origen.
•Polos.
•Dominio.
•Regiones.
•Simetrías.
•Asíntotas, corte con las asíntotas.
•Estudio local.
•Representación.
Ceros
Son los valores de la variable independiente que hacen cero la función.
Se calculan igualando a cero la ecuación que representa a la función y representan los puntos de corte con el eje de abcisas (OX). Tienen la forma P(x,0).
Ordenada en el origen
Son los puntos en los que la curva corta al eje de ordenadas (YO).
Se calculan asignando el valor cero a la variable independiente. Tienen la forma P(0,y).
Polos
Son los valores de la variable independiente que hace infinita la función.
En el caso de los cocientes se calcularán igualando a cero el denominador.
Dominio
Conjunto de valores de la variable independiente para los que la función toma valores reales.

Regiones
Se trata de hacer un estudio del signo de la función de manera que se determine las zonas positivas y negativas de la función.
Para ello seguimos los siguientes pasos:
1. Dividimos el campo de existencia de la función en intervalos crecientes tomando como extremos de los mismos los ceros y polos de la función.
2. Calculamos el signo que toma la función en cada uno de los intervalos, para ello tomamos un valor cualquiera del intervalo (excepto los extremos) y lo sustituimos en la función anotando el signo del resultado.
3. Representamos las zonas en los ejes coordenados eliminando aquellas en las que la función no exista.


Representando el resultado en los ejes coordenados obtenemos una gráfica en la que las zonas por las que no pasa la función se encuentran rayadas.

Simetrías
Los tipos de simetría posibles son: 1.- Respecto al eje OX (horizontal)
2.- Respecto al eje OY (vertical)
3.- Respecto al origen

Asíntotas
Se definen como las rectas tangentes a la curva en los puntos del infinito.
Geométricamente se representan por una recta que se acerca a la curva sin llegar a cortarla Existen tres tipos de asíntotas:
Asíntotas verticales
Tomando la función y = f(x) , si se cumple la condición decimos que la recta x = a es tangente a la curva en el infinito y por tanto la recta será asíntota de la curva. Limfxxa→=∞()
Para calcular las asíntotas verticales se buscan los valores de la variable independiente que hagan infinita la función, es decir los polos de la función.

Asíntotas horizontales
Tomando la función y = f(x) si Limfxbx→∞=() podemos decir que la curva será tangente en el infinito a la recta y = b luego será asíntota vertical de la curva y = f(x).
Para calcular las asíntotas horizontales de una curva se calcula al límite de la función cuando la variable independiente tiende a infinito.
El el caso de que el valor del límite sea infinito la función podrá tener asíntota oblicua, en los demas casos no habrá que calcular dicha asíntota oblicua.
Asíntotas oblicuas
Son rectas de la forma y = mx + n.
En el caso de que alguno de los límites de infinito,la curva no tiene asíntota y no habrá que seguir calculandola.

Puntos de corte con las asíntotas
Aunque por definición las asíntotas son tangentes a la curva en el infinito, existen algunos casos en que las horizontales o las oblicuas puede cortar a la función en un punto que pertenezca al dominio.
Para calcular estos puntos se resuelve el sistema de ecuaciones formado por la asíntota y la función.

Estudio local
Se realiza de la forma descrita en el apartado del mismo nombre del tema anterior.
Representación
Dibujaremos en los ejes coordenados los resultados de los apartados anteriores y calcularemos algún punto de la función para poder trazar su gráfica con mayor exactitud.